第三百四十八章 彼得爾
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靈感，總是來的這麽猝不及防！
程諾嘴角微微一勾，將書頁翻回原本那一頁。
既然Chebyshev（切比雪夫）給出的Bertrand假設的證明過程如此覆雜，那麽，自己就挑戰一下，看看是否能夠用更加簡便的數學語言證明Bertrand假設吧。
順便，來驗證一下，這一年的深入鉆研，自己的能力究竟到了何種地步。
Bertrand假設的簡單證明方法。
光是這個論文題目，就足以被稱得上是一區水平的論文。當然，前提是程諾真的能夠探索出來那條簡單的解法。
就如程諾之前所假設過的。數學界每一個猜想或者假設的證明過程都是由起點走到終點的過程，有的路線曲折，有的路線筆直。
而或許，切比雪夫發現的是那條比較曲折的路線，而程諾，則需要在前人的基礎上，開辟出一條更加簡捷的道路。
但這卻比單獨證明Bertrand假設要簡單。
畢竟是站在巨人的肩膀上看待問題，有了切比雪夫這位“開荒者”提出的證明方案，程諾或多或少的也能從中汲取到什麽，並進行獨到的理解。
想到就做！
程諾不是那麽猶豫不決的人。反正時間充裕，容得程諾在發現“此路不通”後，重新尋找另一個論文方向。
想要提出更加簡便的方案，首先要把前人提出的證明思路吃透。
他沒有火急火燎的直接開始自己的鉆研，而是低下頭，從頭到尾的閱讀書中關Bertrand假設的那十幾頁內容。
兩個小時後，程諾合上書。
閉著眼回味了幾秒，他從書包中掏出一摞空白的草稿紙，拿起桌面上的黑色碳素筆，聚精會神的開始了自己的推演：
想要證明Bertrand假設，就必須證明幾個輔助命題。
引理一：【引理1：設n為一自然數，p為一素數，則能整除n！的p的最高冪次為：s=Σi≥1floor（n/pi）（式中floor（x）為不大於x的最大整數）】
這裏，需要將從1到n的所有（n個）自然數排列在一條直線上，在每個數字上疊放一列si個記號，顯然記號的總數是s。
關系式s=Σ1≤i≤n si表示的是先計算各列的記號數（即si）再求和，由此得到的關系，便是引理1。
引理二：【設n為自然數，p為素數，則Πp≤n p<4n】
用數學歸納法。n=1和n=2時引理顯然成立。假設引理對n<N成立（N>2），我們來證明n=N的情形。
如果N為偶數，則Πp≤N p=Πp≤N-1 p，引理顯然成立。
如果N為奇數，設N=2m+1（m≥1）。註意到所有m+1m，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor（2x）-2floor（x）≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】
由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次為：s=Σi≥1[floor（2n/pi）-2floor（n/pi）]。】
【因為n≥3及2n/32n，求和只有i=1一項，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】
由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次，則：（a）ps≤2n；（b）若p>√2n，則s≤1；（c）若2n/3<p≤n，則s=0。】
一行行，一列列。
除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裏。
等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。
而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。
這是他勞動一天的成果。
明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對Bertrand假設證明工作有用的推論。
……
一夜無話。
翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。
日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。
程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。
論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明Bertrand假設有重要作用的五個推論。
結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式Bertrand假設的證明。
這可不是個輕松的工作。
程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。
可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。
這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。
而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。
肝吧，少年！
程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。
切爾雪夫在證明Bertrand假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。
程諾當然不能這麽做。
對於Bertrand假設，他準備使用反證法。
這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，面對許多猜想時非常重要。
尤其是……在證明某個猜想不成立時！
但程諾現在當時不是要尋找反例，證明Bertrand假設不成立。
切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。
程諾自信滿滿。
第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。
第二步，將（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Πps（p）（s（p）為質因子p的冪次。
第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。
……
第七步，利用推論8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n<p≤2n/3 p≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！
思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。
連程諾本人，都驚訝了好一陣。
原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！
程諾叉腰得意一會兒。
隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。
第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1（因偶數及1不是素數）……由此得到：（2n）！/（n！n！）<（2n）√2n/2-1·42n/3。
第九步，（2n）！/（n！n！）是（1+1）2n展開式中最大的一項，而該展開式共有2n項（我們將首末兩項1合並為2），因此（2n）！/（n！n！）≥22n/2n=4n/2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2n ln4<3 ln（2n）。
下面，就是最後一步。
由於冪函數√2n隨n的增長速度遠快於對數函數ln（2n），因此上式對於足夠大的n顯然不可能成立。
至此，可說明，Bertrand假設成立。
論文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。
這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。
搞！搞！搞！
啪啪啪~~
程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時後，畢業論文正式完稿。
程諾又隨手做了一份PPT，畢業答辯時會用到。
至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。
反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。
要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。
哦，對了，還有一件事。
程諾一拍腦袋，仿佛記起了什麽。
在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的PDF格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。
SCI期刊之一，位列一區。
影響因子5.21，即便在一區的諸多著名學術雜志中，都屬於中等偏上的水平。
本站無廣告，永久域名（fanyan.cc）
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既然Chebyshev（切比雪夫）給出的Bertrand假設的證明過程如此覆雜，那麽，自己就挑戰一下，看看是否能夠用更加簡便的數學語言證明Bertrand假設吧。
順便，來驗證一下，這一年的深入鉆研，自己的能力究竟到了何種地步。
Bertrand假設的簡單證明方法。
光是這個論文題目，就足以被稱得上是一區水平的論文。當然，前提是程諾真的能夠探索出來那條簡單的解法。
就如程諾之前所假設過的。數學界每一個猜想或者假設的證明過程都是由起點走到終點的過程，有的路線曲折，有的路線筆直。
而或許，切比雪夫發現的是那條比較曲折的路線，而程諾，則需要在前人的基礎上，開辟出一條更加簡捷的道路。
但這卻比單獨證明Bertrand假設要簡單。
畢竟是站在巨人的肩膀上看待問題，有了切比雪夫這位“開荒者”提出的證明方案，程諾或多或少的也能從中汲取到什麽，並進行獨到的理解。
想到就做！
程諾不是那麽猶豫不決的人。反正時間充裕，容得程諾在發現“此路不通”後，重新尋找另一個論文方向。
想要提出更加簡便的方案，首先要把前人提出的證明思路吃透。
他沒有火急火燎的直接開始自己的鉆研，而是低下頭，從頭到尾的閱讀書中關Bertrand假設的那十幾頁內容。
兩個小時後，程諾合上書。
閉著眼回味了幾秒，他從書包中掏出一摞空白的草稿紙，拿起桌面上的黑色碳素筆，聚精會神的開始了自己的推演：
想要證明Bertrand假設，就必須證明幾個輔助命題。
引理一：【引理1：設n為一自然數，p為一素數，則能整除n！的p的最高冪次為：s=Σi≥1floor（n/pi）（式中floor（x）為不大於x的最大整數）】
這裏，需要將從1到n的所有（n個）自然數排列在一條直線上，在每個數字上疊放一列si個記號，顯然記號的總數是s。
關系式s=Σ1≤i≤n si表示的是先計算各列的記號數（即si）再求和，由此得到的關系，便是引理1。
引理二：【設n為自然數，p為素數，則Πp≤n p<4n】
用數學歸納法。n=1和n=2時引理顯然成立。假設引理對n<N成立（N>2），我們來證明n=N的情形。
如果N為偶數，則Πp≤N p=Πp≤N-1 p，引理顯然成立。
如果N為奇數，設N=2m+1（m≥1）。註意到所有m+1m，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor（2x）-2floor（x）≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】
由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次為：s=Σi≥1[floor（2n/pi）-2floor（n/pi）]。】
【因為n≥3及2n/32n，求和只有i=1一項，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】
由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次，則：（a）ps≤2n；（b）若p>√2n，則s≤1；（c）若2n/3<p≤n，則s=0。】
一行行，一列列。
除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裏。
等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。
而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。
這是他勞動一天的成果。
明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對Bertrand假設證明工作有用的推論。
……
一夜無話。
翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。
日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。
程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。
論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明Bertrand假設有重要作用的五個推論。
結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式Bertrand假設的證明。
這可不是個輕松的工作。
程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。
可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。
這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。
而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。
肝吧，少年！
程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。
切爾雪夫在證明Bertrand假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。
程諾當然不能這麽做。
對於Bertrand假設，他準備使用反證法。
這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，面對許多猜想時非常重要。
尤其是……在證明某個猜想不成立時！
但程諾現在當時不是要尋找反例，證明Bertrand假設不成立。
切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。
程諾自信滿滿。
第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。
第二步，將（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Πps（p）（s（p）為質因子p的冪次。
第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。
……
第七步，利用推論8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n<p≤2n/3 p≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！
思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。
連程諾本人，都驚訝了好一陣。
原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！
程諾叉腰得意一會兒。
隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。
第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1（因偶數及1不是素數）……由此得到：（2n）！/（n！n！）<（2n）√2n/2-1·42n/3。
第九步，（2n）！/（n！n！）是（1+1）2n展開式中最大的一項，而該展開式共有2n項（我們將首末兩項1合並為2），因此（2n）！/（n！n！）≥22n/2n=4n/2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2n ln4<3 ln（2n）。
下面，就是最後一步。
由於冪函數√2n隨n的增長速度遠快於對數函數ln（2n），因此上式對於足夠大的n顯然不可能成立。
至此，可說明，Bertrand假設成立。
論文的草稿部分，算是正式完工。
而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。
這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。
搞！搞！搞！
啪啪啪~~
程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時後，畢業論文正式完稿。
程諾又隨手做了一份PPT，畢業答辯時會用到。
至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。
反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。
要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。
哦，對了，還有一件事。
程諾一拍腦袋，仿佛記起了什麽。
在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的PDF格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。
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