第146章 第二堂課
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這句話似乎某種程度上印證了大個子弗萊迪的擔心——黎曼真的是覺得他們實力還不足以給他當實驗材料，甚至不願意單單從更好培養的小孩子培養起，而是決定將他們這些成年人也一塊拔苗助長了嗎？
但是，但是！
弗萊迪胸中無端地生出了一口豪氣！
怎能讓孩子們獨自承受危險，他們這些老胳膊老腿應該為他們擋在危險之前才是。
如果黎曼知道他在想什麽，估計只會憋出一句：“……你想太多了。”
黎曼和弗萊迪回到火堆群旁，那幾個小孩還聚在一起嘰嘰喳喳，不知道在討論些什麽，於是黎曼轉頭對弗萊迪說：“那就先把……嗯，十五歲以上的人聚集起來吧，我先給你們上課，艾爾他們還在討論他們的想法。”
……
黎曼看著面前坐了一排又一排的人，放了一個【召喚·光】，他又看向他們手中的一張紙一支筆：“呃，一張紙大概不夠記筆記的，你們多拿幾章。”
等其他人準備完畢，黎曼也捏出了一道石板，準備開始上課。
“你們這個年紀……那就從實數開始講起吧。”
“我知道你們對數的認知和魔法緊密關聯，但是我還是決定從正常的邏輯來介紹數。”
“最簡單，最容易被人類意識到，並且抽象概括出來的數，是正整數，我們再給它加一個0上去，就是自然數，自然數對加法和乘法是封閉的，這句話的意思是，1+1等於的2依舊是自然數，1乘2等於的2依舊是自然數，任意兩個自然數相加，相乘，結果依舊是自然數，那麽它對什麽是不封閉的呢？”
“減法。”
“如果我面前擺有五只野果，我吃掉了三只，把這個過程抽象為一個算式的話就是5-3=2，這種減法是比較直觀的，生活中常用的，最容易被抽象出來的，而且答案依舊在自然數裏。”
“但是如果算式是3-5，我們就沒法從自然數中找到一個數去當它的答案，但這個式子依舊是有意義的，比如我現在有三枚銀幣，但是我買了一本書，要五枚銀幣，那麽此時我倒欠書店老板2枚銀幣。”
“由此我們將數的範圍擴充到整數，也就是我們加入了負數的概念。”
“現在，整數對加法，乘法，減法都已經是封閉的了，但是它依舊不夠好用。”
“我們會碰到這樣的情況，現在有八個人出去采集野果，采到了十六個野果，那麽我們自然地就會將16平分給8個人，並且得到算式16/8=2，也就是除法，整數對除法是不封閉的，比如2/3，得到的就不是整數，於是我們把數的範圍擴充到有理數。”
“我知道你們更習慣把這個叫做分數，但是我更喜歡叫有理數，所以記下這個詞然後以後你們就知道它代表什麽了。”
“在這裏我們對有理數進行一個定義，我們把有理數定義為p/q，其中pq是互質的整數，q為正整數，p為整數。”
“有理數的範圍足夠我們做大多數運算了，但是它並不囊括了所有數。”
“比如經典的根號2，我們來證明一下，根號2不為有理數，也就是說，根號二沒法表示成分數。”
“我們采用一個反證法。”
“假設根號2可以表示為形式為p/q的有理數，其中pq是互質整數，那麽我們可以得到一個等式p?=2q?。”
“我再次強調一遍，我們假設了p，q都是整數，那麽這種情況下，p必不能為奇數，因為奇數的平方裏不可能有2這個因數，對嗎？”
“所以我們推出，p為偶數，偶數可以表示為2k，其中k為整數。”
“於是我們又得到了一個等式，2k?=q?，同理可得，q為偶數。”
“也就是說，從根號2是有理數這個前提，我們可以推出這樣一個結果，p和q擁有一個共同的因數2，而這違背了最初的假設pq互質，由此可得這個前提條件是錯誤的。”
“根據類似的思路我們還可以證明根號3，根號12是無理數。”
“然後在這裏，我要第一次引入無窮的概念，我現在畫一條線段，這條線段的起點是0，終點是1，也就是它是一段長度為1的有限長的線段。”
“那麽請思考這樣一個問題，如果我要從0走到1，那麽我得先走到0和1的中點1/2，如果我要從0走到1/2，那麽我就需要先走到0和1/2的中點1/4，而這個過程是可以無限繼續下去的，你們看到問題所在了嗎？”
“第二個例子，依舊是這條線段，我把它豎起來，然後我再在它的旁邊畫一條傾斜一點的線段，有點像直角三角形的高和斜邊長，對吧。”
“這兩條線段的長度明顯是不想等的，但是我們可以將上面的點一一對應起來，橫著連線，對，假設，線段是由一個一個可數的點構成的，那麽我們就會得到一個荒謬的結論，也就是這兩條線段是相等的。”
“但是我們知道它們倆是不相等的，所以，我想你們應該已經得出了結論，哪怕是一條有限長的線段上，上面也布滿了無窮個數，對嗎？”
“很好，這就是你們暫時需要知道的關於實數的事。”
“我們接下來來講集合。”
……
米西是半途從艾爾他們中溜出來來到黎曼先生的“課堂”後的。
黎曼先生把召喚光放到了石板的上方，這個光球足夠亮，亮到她可以看見她媽媽紙上的筆記。
“媽媽，給我看看。”
“哦！米西！你什麽時候過來的？”
“剛剛。”
米西的媽媽抽出她墊在下面的幾張紙遞給米西，自己則接著聽課記筆記。
米西快速地掃了眼那幾張紙，然後擡起頭看向白光下正在侃侃而談的黎曼先生。
“……集合另一個需要註意的特性是，元素的重覆是無意義的。”
“我們舉個例子來理解，大家應該還記得集合定義是具有某種特定性質的對象的匯總，那麽我現在在這裏喊一句——誰要跟我一起去打獵？報名的人是否就是一個集合？”
“這種情況下，假設我不小心將弗萊迪先生的名字記下了兩次，比如我現在紙上共有18個名字，其中有兩個弗萊迪，這並不意味著會出現兩個弗萊迪來跟我打獵，不是嗎？真正和我一起去打獵的依舊只有17個人，只有一個弗萊迪，這就是重覆的無意義。”
米西覺得黎曼先生是個神奇的人，他總喜歡舉各種各樣的例子，她其實覺得這樣有點浪費時間啦，但其他人好像覺得這樣更好理解，唉，那她就只能遷就下其他那些不夠聰明的人了。
“……集合另一個需要註意的地方是，呃，稍等一下。”
米西看著黎曼先生從不知道哪裏摸出了一張紙，他好看的眉微微皺了起來，然後轉頭對大家說：“抱歉，今天都課就先到這裏，雖然沒什麽需要深入理解的內容，但希望大家能花些時間記住這些基本概念，因為以後我們會經常用到，哪裏有忘記的可以互相交換一下筆記，進行一個查漏補缺，我有些事情要去做，明天見。”
米西忍不住發出了一聲懊惱的“噢——”，她才剛來呢！怎麽還沒開始就要結束了！
不過她沒懊惱多久，因為她媽媽扯了扯她的衣角：“米西，幫我看看證明根號2這一段……”
“好的，媽媽。”
……
讓黎曼中途停下他的講課的理由自然是深淵的消息。
他離開龐德主教和聖子一群人之前，給了他們一個臨時傳送小陣——小陣的意思是真的非常小，只夠傳張紙條過來的。
那是一張超級小的地圖，上面共打了六個x，意思就是這六個地方有深淵異變。
黎曼挑了挑眉，難怪龐德主教當時態度那麽不配合，現在還是來找他了，一次性出現了六處異變，教廷估計也有些手忙腳亂。
黎曼檢查了一番自己的裝備，立刻傳送離開。
“藤蔓纏繞。”
“召喚·火。”
“召喚·風。”
黎曼的刷怪套路就是這麽樸素。
這樣一套下來剛好清幹凈。
其實他最近在思考能不能把刷怪所需的技能簡化到單個，雖然這顯得他有點懶……而且千裏迢迢傳送過來又跑大半天找到地方，結果只放一個技能就結束戰鬥這種事情，總顯得有點……頭重腳輕，但他還是想這麽做。
其實他手上這個【藤蔓纏繞】的進階魔法就很適合。
二環魔法【藤蔓纏繞】的上級魔法是四環魔法【藤蔓絞殺】，除了控制和可有可無的傷害，還加了一次大量傷害和少量吸血效果，唯一的問題就是那玩意兒是個四環魔法。
黎曼看了眼自己的經驗條，今天殺了三十幾只深淵怪物，經驗條就只動了四分之一，這可真是個悲傷的故事。
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但是，但是！
弗萊迪胸中無端地生出了一口豪氣！
怎能讓孩子們獨自承受危險，他們這些老胳膊老腿應該為他們擋在危險之前才是。
如果黎曼知道他在想什麽，估計只會憋出一句：“……你想太多了。”
黎曼和弗萊迪回到火堆群旁，那幾個小孩還聚在一起嘰嘰喳喳，不知道在討論些什麽，於是黎曼轉頭對弗萊迪說：“那就先把……嗯，十五歲以上的人聚集起來吧，我先給你們上課，艾爾他們還在討論他們的想法。”
……
黎曼看著面前坐了一排又一排的人，放了一個【召喚·光】，他又看向他們手中的一張紙一支筆：“呃，一張紙大概不夠記筆記的，你們多拿幾章。”
等其他人準備完畢，黎曼也捏出了一道石板，準備開始上課。
“你們這個年紀……那就從實數開始講起吧。”
“我知道你們對數的認知和魔法緊密關聯，但是我還是決定從正常的邏輯來介紹數。”
“最簡單，最容易被人類意識到，並且抽象概括出來的數，是正整數，我們再給它加一個0上去，就是自然數，自然數對加法和乘法是封閉的，這句話的意思是，1+1等於的2依舊是自然數，1乘2等於的2依舊是自然數，任意兩個自然數相加，相乘，結果依舊是自然數，那麽它對什麽是不封閉的呢？”
“減法。”
“如果我面前擺有五只野果，我吃掉了三只，把這個過程抽象為一個算式的話就是5-3=2，這種減法是比較直觀的，生活中常用的，最容易被抽象出來的，而且答案依舊在自然數裏。”
“但是如果算式是3-5，我們就沒法從自然數中找到一個數去當它的答案，但這個式子依舊是有意義的，比如我現在有三枚銀幣，但是我買了一本書，要五枚銀幣，那麽此時我倒欠書店老板2枚銀幣。”
“由此我們將數的範圍擴充到整數，也就是我們加入了負數的概念。”
“現在，整數對加法，乘法，減法都已經是封閉的了，但是它依舊不夠好用。”
“我們會碰到這樣的情況，現在有八個人出去采集野果，采到了十六個野果，那麽我們自然地就會將16平分給8個人，並且得到算式16/8=2，也就是除法，整數對除法是不封閉的，比如2/3，得到的就不是整數，於是我們把數的範圍擴充到有理數。”
“我知道你們更習慣把這個叫做分數，但是我更喜歡叫有理數，所以記下這個詞然後以後你們就知道它代表什麽了。”
“在這裏我們對有理數進行一個定義，我們把有理數定義為p/q，其中pq是互質的整數，q為正整數，p為整數。”
“有理數的範圍足夠我們做大多數運算了，但是它並不囊括了所有數。”
“比如經典的根號2，我們來證明一下，根號2不為有理數，也就是說，根號二沒法表示成分數。”
“我們采用一個反證法。”
“假設根號2可以表示為形式為p/q的有理數，其中pq是互質整數，那麽我們可以得到一個等式p?=2q?。”
“我再次強調一遍，我們假設了p，q都是整數，那麽這種情況下，p必不能為奇數，因為奇數的平方裏不可能有2這個因數，對嗎？”
“所以我們推出，p為偶數，偶數可以表示為2k，其中k為整數。”
“於是我們又得到了一個等式，2k?=q?，同理可得，q為偶數。”
“也就是說，從根號2是有理數這個前提，我們可以推出這樣一個結果，p和q擁有一個共同的因數2，而這違背了最初的假設pq互質，由此可得這個前提條件是錯誤的。”
“根據類似的思路我們還可以證明根號3，根號12是無理數。”
“然後在這裏，我要第一次引入無窮的概念，我現在畫一條線段，這條線段的起點是0，終點是1，也就是它是一段長度為1的有限長的線段。”
“那麽請思考這樣一個問題，如果我要從0走到1，那麽我得先走到0和1的中點1/2，如果我要從0走到1/2，那麽我就需要先走到0和1/2的中點1/4，而這個過程是可以無限繼續下去的，你們看到問題所在了嗎？”
“第二個例子，依舊是這條線段，我把它豎起來，然後我再在它的旁邊畫一條傾斜一點的線段，有點像直角三角形的高和斜邊長，對吧。”
“這兩條線段的長度明顯是不想等的，但是我們可以將上面的點一一對應起來，橫著連線，對，假設，線段是由一個一個可數的點構成的，那麽我們就會得到一個荒謬的結論，也就是這兩條線段是相等的。”
“但是我們知道它們倆是不相等的，所以，我想你們應該已經得出了結論，哪怕是一條有限長的線段上，上面也布滿了無窮個數，對嗎？”
“很好，這就是你們暫時需要知道的關於實數的事。”
“我們接下來來講集合。”
……
米西是半途從艾爾他們中溜出來來到黎曼先生的“課堂”後的。
黎曼先生把召喚光放到了石板的上方，這個光球足夠亮，亮到她可以看見她媽媽紙上的筆記。
“媽媽，給我看看。”
“哦！米西！你什麽時候過來的？”
“剛剛。”
米西的媽媽抽出她墊在下面的幾張紙遞給米西，自己則接著聽課記筆記。
米西快速地掃了眼那幾張紙，然後擡起頭看向白光下正在侃侃而談的黎曼先生。
“……集合另一個需要註意的特性是，元素的重覆是無意義的。”
“我們舉個例子來理解，大家應該還記得集合定義是具有某種特定性質的對象的匯總，那麽我現在在這裏喊一句——誰要跟我一起去打獵？報名的人是否就是一個集合？”
“這種情況下，假設我不小心將弗萊迪先生的名字記下了兩次，比如我現在紙上共有18個名字，其中有兩個弗萊迪，這並不意味著會出現兩個弗萊迪來跟我打獵，不是嗎？真正和我一起去打獵的依舊只有17個人，只有一個弗萊迪，這就是重覆的無意義。”
米西覺得黎曼先生是個神奇的人，他總喜歡舉各種各樣的例子，她其實覺得這樣有點浪費時間啦，但其他人好像覺得這樣更好理解，唉，那她就只能遷就下其他那些不夠聰明的人了。
“……集合另一個需要註意的地方是，呃，稍等一下。”
米西看著黎曼先生從不知道哪裏摸出了一張紙，他好看的眉微微皺了起來，然後轉頭對大家說：“抱歉，今天都課就先到這裏，雖然沒什麽需要深入理解的內容，但希望大家能花些時間記住這些基本概念，因為以後我們會經常用到，哪裏有忘記的可以互相交換一下筆記，進行一個查漏補缺，我有些事情要去做，明天見。”
米西忍不住發出了一聲懊惱的“噢——”，她才剛來呢！怎麽還沒開始就要結束了！
不過她沒懊惱多久，因為她媽媽扯了扯她的衣角：“米西，幫我看看證明根號2這一段……”
“好的，媽媽。”
……
讓黎曼中途停下他的講課的理由自然是深淵的消息。
他離開龐德主教和聖子一群人之前，給了他們一個臨時傳送小陣——小陣的意思是真的非常小，只夠傳張紙條過來的。
那是一張超級小的地圖，上面共打了六個x，意思就是這六個地方有深淵異變。
黎曼挑了挑眉，難怪龐德主教當時態度那麽不配合，現在還是來找他了，一次性出現了六處異變，教廷估計也有些手忙腳亂。
黎曼檢查了一番自己的裝備，立刻傳送離開。
“藤蔓纏繞。”
“召喚·火。”
“召喚·風。”
黎曼的刷怪套路就是這麽樸素。
這樣一套下來剛好清幹凈。
其實他最近在思考能不能把刷怪所需的技能簡化到單個，雖然這顯得他有點懶……而且千裏迢迢傳送過來又跑大半天找到地方，結果只放一個技能就結束戰鬥這種事情，總顯得有點……頭重腳輕，但他還是想這麽做。
其實他手上這個【藤蔓纏繞】的進階魔法就很適合。
二環魔法【藤蔓纏繞】的上級魔法是四環魔法【藤蔓絞殺】，除了控制和可有可無的傷害，還加了一次大量傷害和少量吸血效果，唯一的問題就是那玩意兒是個四環魔法。
黎曼看了眼自己的經驗條，今天殺了三十幾只深淵怪物，經驗條就只動了四分之一，這可真是個悲傷的故事。
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